数学如何帮助我们理解肿瘤生长
在日常生活中，遗憾的是，我们已经习惯了解肿瘤和黑色素的图像。你可能已经注意到它们并不完全对称。这种不对称对他们的诊断中的医生有用，但为什么他们不对称？
本能地，我们认为在自然界中最常见的是对称的物体，但也许不对称更常见。更复杂的是，同一个对象有时可能是对称的，有时不是。以肥皂泡为例。当它们很小的时候，它们看起来是完美对称的，但是当我们增加它们的半径时，我们看到对称性被打破了:肥皂泡不再是完美的圆了。这种现象是由于风和重力等物理效应的存在。因此，我们可以肯定，肥皂泡的最终形状是由几个因素造成的，其中每一个因素的影响都不可忽视。
癌症生长也是如此：非对称形状是由于不同的生物现象。要了解这些现象仍然是在持续研究生物学和医学的中心。数学可能对肿瘤生长的不同方面提供有价值的洞察力。通过构建数学模型并调查他们的解决方案，我们区分在各种可能的方面之间肿瘤生长机制。这对开发有效的治疗和提供具有互补信息的生物学家和医生有用。
我们能模拟肿瘤是如何生长的吗?
肿瘤的形状是几个相互作用的结果肿瘤细胞健康细胞、分子和其他组织。从全球的角度来用数学描述它的演化，我们可以使用“扩散”方程。“扩散方程在这样的环境中是良好的数学工具，因为它们允许描述在更小规模上进行的物理过程的全局效果。
通常，小规模的过程是扩散：从高浓度的区域到较低浓度的区域的任何物体（例如原子或分子）的净运动。这种行为的一个例子可以是房间中温度（或热）的演变。我们通过经验知道，如果我们加热了我们房间的一小部分，那么很快就会遍布其余部分。如今我们知道达到了这种热平衡，因为构成空气的原子和分子随机移动而移动。这种议案称为布朗运动，以罗伯特·棕色，一个首次在1827年首次描述它的英国植物学家，同时观察花粉颗粒在水中的运动。有趣的是，自1822年以来，已经独立研究了数学中的扩散方程，当Joseph Fourier推出他的职业标记热方程时，已经独立研究。
然而，小规模（布朗运动）与热均衡的全球效果仅指出Albert Einstein和玛丽安Smoluchowski在1905年。
不同类型的扩散和不同的模型
爱因斯坦描述了一种特定类型的扩散，如今称为“线性扩散”。它的特征在于它的“平均平方位移”，平均粒子在时间上移动的程度。“平均平方位移”是线性的，这意味着，平均而言，如果我们及时等待5个单位，则粒子将在空间中移动√5个单元。这里的线性是在空间量的时间量和平方之间。
这并不是唯一可能的扩散和其他类型已经被使用和研究过，它们的分类往往取决于这一概念“平均平方位移”。例如，在“超扩散”中，粒子被允许“跳跃”(现在被称为Lévy walks)，从而在空间中移动得更多。这种行为不仅在分子中很常见，在动物中也可以观察到。例如，它很好地描述了觅食对溴黑罗的策略。我们可能会注意到布朗运动的轨迹与阿尔巴特罗的轨迹之间的差异。在前者中，粒子在后者靠近其初始位置，而在后者中，阿巴涂托可以长运动（Lévy跳跃）。
数学的主要优点之一是，通常，相似的技术和概念可以用来描述自然界中不同的情况。这就是抛物方程的情况，它是上述扩散方程的一般化，并被用来模拟各种各样的现象，如价格的振荡股市或者一种物质经历相变的演化，例如冰融化成水。抛物线方程所描述的现象的共同特征总是描述由一个较小规模的过程产生的全局效应。
肿瘤的形状
假设每个细胞（或多或少）随机移动，我们可以通过扩散方程描述空间中的细胞密度（每个卷单元数量）的进化。但是，我们不会考虑仅考虑细胞密度来获得不对称的进化。实际上，扩散方程的特征完全是使进化更加对称，在类似于的效果热平衡上面的解释。
要获得不对称，我们需要更多的模型元素，但必须添加哪种效果？当我们数学家可以测试假设时数学对生物学有用时，这是当数学时。实际上，通过向模型添加不同的元素，我们可以模拟肿瘤生长的不同方面，更好地了解其机制。这些元素可以是例如存在营养素的存在（通常是血管带来的氧气或葡萄糖），其存在再次由A模拟扩散描述肿瘤如何消耗营养素的等式，或者由其他组织施加的外部压力，例如器官通过一侧的器官瘤。通过在模型中包含这些特征，我们可以获得上图所示的形状，更接近我们在现实世界中看到的形状。
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